发表于:

利用複数坐标处理平面几何问题




摘要:本文利用複数坐标处理几道平面几何问题

在坐标平面上,当点 $$P$$ 的直角坐标为 $$(x,y)$$ 时,我们也称 $$x+iy$$ 是点 $$P$$ 的複数坐标,以 $$P(x+iy)$$ 表之。当一平面上定义了一个複数坐标系时,我们称此平面为複数平面或高斯平面或 Argand 平面。在複数坐标系中,点 $$O$$ 仍称为原点,  $$x$$ 轴改称为实轴、$$y$$ 轴改称为虚轴。

将坐标平面上各点的直角坐标改以複数坐标表示时,複数集 $$C$$ 的一些运算及其性质,在处理几何问题时的简单方便,有不少地方是直角坐标方法与向量方法所不能及的,本文中将介绍一些例子。因为篇幅所限,本文中的例子以複数的主辐角概念在处理几何问题时的方便有用为主。

对每个不为 $$0$$ 的複数 $$z$$,都有适当的广义角 $$\theta$$ 满足 $$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$。每个此种角都称为複数 $$z$$ 的一个辐角(argument)。在複数 $$z$$ 的辐角中,恰有一个辐角 $$\Theta$$ 满足$$-\pi<\Theta\leq\pi$$,这个辐角 $$\Theta$$ 称为複数 $$z$$ 的主辐角(principal argument),记为 $$Arg(z)$$。

$$(1)$$ 设点 $$P$$ 的複数坐标为 $$z$$,而 $$U$$ 是实轴上的单位点。
当 $$Arg(z)\neq\pi$$ 时,主辐角 $$Arg(z)$$ 就是在以射线 $$\vec{OU}$$ 为始边、射线 $$\vec{OP}$$ 为终边的全体有向角中,其绝对值最小的有向角。因此,

当 $$0当 $$Arg(z)<0$$ 时,恆有 $$Arg(z)=-\angle{UOP}$$

$$(2)$$ 设点 $$A$$、$$B$$ 与 $$C$$ 的複数坐标分别为 $$a$$、$$b$$ 与 $$c$$。
当 $$Arg((c-a)/(b-a))\neq\pi$$ 时,主辐角 $$Arg((c-a)/(b-a))$$ 就是在以射线 $$\vec{AB}$$ 为始边、射线 $$\vec{AC}$$ 为终边的全体有向角中,其绝对值最小的有向角。因此,

当 $$0当 $$Arg(\frac{c-a}{b-a})<0$$时,恆有 $$Arg(\frac{c-a}{b-a})=-\angle{BAC}$$。

例 1:若点 $$A(a)$$、$$B(b)$$、$$C(c)$$、$$U(u)$$、$$V(v)$$ 与 $$W(w)$$ 分别为複数平面上两个三角形 $$\Delta{ABC}$$ 与 $$\Delta{UVW}$$ 的顶点,则 $$\Delta{ABC}$$ 与 $$\Delta{UVW}$$ 同方向相似的充要条件是

$$\left|\begin{array}{ccc} a & u& 1\\ b & v & 1\\ c & w & 1\end{array}\right|=0$$

说明:上述充要条件可写成 $$(b-a)(c-a)=(v-u)/(w-u)$$。将此式两端分别取主辐角及绝对值,可知上式成立的充要条件是:$$\overline{AB}/\overline{AC}=\overline{UV}/\overline{UW}$$,且有向角$$\angle{CAB}$$与有向角$$\angle{WUV}$$相等。

例2:若点 $$A(a)$$、$$B(b)$$ 与 $$C(c)$$ 为複数平面上不共线的三点,则 $$\Delta{ABC}$$ 是正三角形的充要条件是

$$\left|\begin{array}{ccc} a & b& 1\\ b & c& 1\\ c & a& 1\end{array}\right|=0$$ 或 $$a^2+b^2+c^2=bc+ca+ab$$

说明:依例1,上述充要条件表示 $$\Delta{ABC}$$ 与 $$\Delta{BCA}$$ 同方向相似。

例3:若点 $$A(a)$$、$$B(b)$$、$$C(c)$$ 与 $$D(d)$$ 是複数平面上四个相异点,且其中至少有三点不共线,则点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 共圆的充要条件是 $$(b-c)/(a-c):(b-d)/(a-d)$$ 为一个实数。

说明:设点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 共圆。当点 $$A$$ 与点 $$B$$ 在直线 $$CD$$ 同侧时,上述实数是正数;当点 $$A$$ 与点 $$B$$ 在直线 $$CD$$ 异侧时,上述实数是负数。

例4 ( Ptolemy 定理  ):若点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 是平面上四个相异点,则恆有

$$\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\ge\overline{AC}\cdot\overline{BD}$$

而且等号成立的充要条件是点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 构成一个圆内接四边形 $$ABCD$$。

证明:设点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 的複数坐标分别为点 $$a$$、$$b$$、$$c$$ 与 $$d$$。因为

$$(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)~~~~~~~~~(*)$$

所以,可得

$$\begin{array}{ll}\overline{AC}\cdot\overline{BD}&=|(a-c)(b-d)|\\&=|(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)|\\&\le|(a-b)(c-d)|+|(a-d)(b-c)|\\&=\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\end{array}$$

设点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 构成圆内接四边形 $$ABCD$$。因为 $$B$$ 与 $$D$$ 在直线 $$AC$$ 异侧,所以,$$(c-d)/(a-d):(c-b)/(a-b)$$ 是负实数,亦即,$$(a-b)(c-d)/(a-d)(b-c)$$ 是正实数。于是,由 $$(*)$$ 式可得

$$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BD}}{\overline{AD}\cdot\overline{BC}}&\displaystyle=\left|\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}\right|=\left|\frac{(a-b)(c-d)}{(a-d)(b-c)}+1\right|\\&\displaystyle=\frac{(a-b)(c-d)}{(a-d)(b-c)}+1=\left|\frac{(a-b)(c-d)}{(a-d)(b-c)}\right|+1\\&=\displaystyle\frac{\overline{AB}\cdot\overline{CD}}{\overline{AD}\cdot\overline{BC}}+1\end{array}$$

由此可得 $$\overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}$$。

反之,设 $$\overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}$$,则可得

$$|(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)|=|(a-b)(c-d)|+|(a-d)(b-c)|$$

于是,上式左端两複数的比值 $$(a-b)(c-d)/(a-d)(b-c)$$ 是一个正实数。由此可知;複数 $$(c-d)/(a-d):(c-b)/(a-b)$$ 是负实数。因此,点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 共圆且 $$B$$ 与 $$D$$ 在直线 $$AC$$ 异侧。亦即:点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$D$$ 构成圆内接四边形 $$ABCD$$。

例5:设 $$P$$ 是 $$\Delta{ABC}$$ 的平面上一点,  试证:

$$\displaystyle \frac{\overline{PB}\cdot\overline{PC}}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}+\frac{\overline{PC}\cdot\overline{PA}}{\overline{BC}\cdot\overline{BA}}+\frac{\overline{PA}\cdot\overline{PB}}{\overline{CA}\cdot\overline{CB}}\ge 1$$

,并讨论等号成立的充要条件。

证明:设点 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 与 $$P$$ 的複数坐标分别为 $$a$$、$$b$$、$$c$$ 与 $$p$$。因为

$$\displaystyle\frac{p-b}{a-b}\cdot\frac{p-c}{a-c}+\frac{p-c}{b-c}\cdot\frac{p-a}{b-a}+\frac{p-a}{c-a}\cdot\frac{p-b}{c-b}$$

$$\displaystyle=\frac{(b-c)(p-b)(p-c)+(c-a)(p-c)(p-a)+(a-b)(p-a)(p-b)}{-(b-a)(c-a)(a-b)}$$

$$\begin{multline*}\displaystyle=\frac{[(b-c)+(c-a)+(a-b)]p^2}{-(b-c)(c-a)(a-b)}-\frac{[(b^2-c^2)+(c^2-a^2)+(a^2-b^2)]p}{-(b-c)(c-a)(a-b)}\\\displaystyle +\frac{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}{-(b-c)(c-a)(a-b)}\end{multline*}$$

$$=1~~~~~~~~~(*)$$

所以,可得

$$\displaystyle \frac{|p-b|}{|a-b|}\cdot\frac{|p-c|}{|a-c|}+\frac{|p-c|}{|b-c|}\cdot\frac{|p-a|}{|b-a|}+\frac{|p-a|}{|c-a|}\cdot\frac{|p-b|}{|c-b|}$$

$$\displaystyle\ge\left|\frac{p-b}{a-b}\cdot\frac{p-c}{a-c}+\frac{p-c}{b-c}\cdot\frac{p-a}{b-a}+\frac{p-a}{c-a}\cdot\frac{p-b}{c-b}\right|=1$$

亦即:$$\displaystyle \frac{\overline{PB}\cdot\overline{PC}}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}+\frac{\overline{PC}\cdot\overline{PA}}{\overline{BC}\cdot\overline{BA}}+\frac{\overline{PA}\cdot\overline{PB}}{\overline{CA}\cdot\overline{CB}}\ge 1$$

若 $$P$$ 与 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 中之一重合,则上述不等式的等号成立。
若 $$P$$ 与 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 都相异而且上述不等式的等号成立,则$$(*)$$式中的三个複数的主辐角相等。

因为三个複数的和是正实数且三个複数的主辐角相等,所以,三个複数都是正实数。

因为 $$[(p-b)/(a-b)]\cdot [(p-c)/(a-c)]$$ 是正实数,而且点 $$A$$、$$B$$ 与 $$C$$ 不共线,

所以,$$(p-b)/(a-b)$$ 与 $$(p-c)/(a-c)$$ 都不是实数。

但因为此二数的乘积是正实数,所以,$$Arg(\frac{(p-b)}{(a-b)})+Arg(\frac{(p-c)}{(a-c)})=0$$。

于是,点 $$B$$ 与点 $$C$$ 在直线 $$AP$$ 异侧且 $$\angle{ABP}=\angle{ACP}$$。

同理,点 $$C$$ 与点 $$A$$ 在直线 $$BP$$ 异侧且 $$\angle{BCP}=\angle{BAP}$$、

点 $$A$$ 与点 $$B$$ 在直线 $$CP$$ 异侧且 $$\angle{CAP}=\angle{CBP}$$。

于是,$$P$$ 为位于 $$\Delta{ABC}$$ 的内部而且

$$\begin{multline*}\angle BAP+\angle CAP+\angle CBP+\angle ABP+\angle ACP+\angle BCP\\=\angle BAC+\angle CBA+\angle ACB=180^\circ\end{multline*}$$

$$\Rightarrow 2\angle BAP+2\angle CAP+2\angle ABP=180^\circ$$

$$\Rightarrow 2\angle BAC+2\angle ABP=180^\circ$$

$$\Rightarrow \angle ABP=\angle ACP=90^\circ-\angle BAC$$

由此可知:直线 $$BP$$ 与直线 $$CA$$ 垂直、直线 $$CP$$ 与直线 $$AB$$ 垂直,这表示 $$\Delta{ABC}$$ 是锐角三角形且点 $$P$$ 是 $$\Delta{ABC}$$ 的垂心。

利用複数坐标处理平面几何问题

延伸阅读